Grundfälle der ebenen Vektoralgebra

Oktober 2020
Keywords: Webkinematik, Webentwicklung, Getriebekinematik, Mechanismentechnik, Bewegungsübertragung, Kraftübertragung, Vektoralgebra, g2, mec2

6.4 Grundfall V

6.4.1 Aufgabenstellung

Analysieren Sie den Mechanismus und stellen Sie ihn mit g2 interaktiv im Browser dar. Überlegen Sie dazu in welcher Lage smaxs_{max} erreicht wird und bestimmen Sie dieses.

Tipp: Wenn Sie durch überlegen nicht auf die entsprechende Stellung kommen, wählen Sie smaxs_{max} zuerst beliebig und ändern es wenn Sie sich das Verhalten des Mechanismus im Browser angeschaut haben. Alternativ lässt sich die Fragestellung auch numerisch lösen.

Abb. 6.4: Gegebener Mechanismus

Geg.: a=50mm\quad a=50mm, d=3ad=3a, e=32ae=\frac{3}{2}a, 0°<φ<360°0°<φ<360°

6.4.2 Mathematik

Um den Mechanismus interaktiv in ein Canvas zu rendern, benötigen wir die Koordinaten der Punkte AA, BB und CC C in Abhängigkeit der Laufvariable φ\varphi.

Aufstellen der Maschengleichung und Sortieren nach Bekannten und Unbekannten liefert Grundfall V:

dex+eeψ+se~ψ−aeφ=0 ∣⋅(−1)⇔−eeψ‾−se~ψ‾=gd\bm e_x + e\bm e_\psi + s\bm{\tilde e}_\psi - a\bm e_\varphi = \bm 0\ |\cdot(-1)\quad\Harr\quad -e\underline{\bm e_\psi} - \underline{s\bm{\tilde e}_\psi} = \bm g

mit

g=dex−aeφ=(d−acos⁡φ−asin⁡φ)\bm g = d\bm e_x - a\bm e_\varphi = \begin{pmatrix} d - a\cos\varphi\\-a\sin\varphi\end{pmatrix}

Grundfall V:

aeα‾−be~α‾=ca\underline{\bm e_\alpha} - \underline{b\bm{\tilde e}_\alpha} = \bm c

Lösung:

b=±c2−a2undeα=ac+bc~c2b = \pm\sqrt{c^2 - a^2}\quad und\quad \bm e_\alpha = \frac{a\bm c + b\bm{\tilde c}}{c^2}

Mit getauschten Variablen ergibt sich für unseren Mechanismus

s=±g2−(−e)2undeψ=−eg+sg~g2s = \pm\sqrt{g^2-(-e)^2}\quad und\quad \bm e_\psi = \frac{-e\bm g + s\bm{\tilde g}}{g^2}

Quadrieren der Hilfsgeraden g\bm g liefert

g2=a2+d2−2adcos⁡φg^2=a^2+d^2−2ad\cos\varphi

Es folgen der unbekannte Winkel ψ\psi mit

ψ=arctan⁡2[1g2(−e⋅gy+s⋅gx),1g2(−e⋅gx+s⋅(−gy))]\psi = \arctan_2\left[\frac{1}{g^2}(-e\cdot g_y +s\cdot g_x),\quad\frac{1}{g^2}(-e\cdot g_x + s\cdot(-g_y))\right]

Der größte Abstand zwischen den Punkten AA und BB also smaxs_{max} tritt bei φ=180°\varphi=180° auf.

Abb. 6.5: Ermittlung von smaxs_{max}

Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich smaxs_{max} leicht ermitteln:

(a+d)2=smax2+e2⇔smax=(a+d)2−e2(a+d)^2=s_{max}^2 + e^2 \quad\Harr\quad s_{max}=\sqrt{(a+d)^2-e^2}

Der Mechanismus ist nun vollständig bestimmt.

6.4.3 Code

Wir legen wie immer eine neue HTML-Datei an, die unter anderem ein 400x300px Canvas sowie einen Range-Input inkl. Output für φ\varphi enthält.

Diesmal legen wir die Gliedlängen des Mechanismus aa, dd, ee sowie smaxs_{max} allerdings außerhalb des mec-Objekts als Variablen an. Da die Gliedlängen alle von aa abhängen und sich niemals ändern, ist es überflüssig jene jedes Mal neu zu evaluieren, wenn sie abgefragt werden. Es ist wesentlich effizienter dies nur einmal beim Initialisieren zu tun.

const
    //...
    a = 50, d = 3*a, e = 3/2*a,
    smax = Math.sqrt((a + d)*(a + d) - e*e),
    //...

Unser mec-Objekt enthält dann Getter für bmeφbm e_\varphi, g\bm g, g2g^2, ss, ψ\psi, epsi\bm e_psi sowie für die Gelenk- und Gestellpunkte A0A_0, B0B_0, AA, BB, CC.

Das mec-Objekt sollte so aussehen:

mec = {
        get ephi() { return {x:Math.cos(phi), y:Math.sin(phi)}; },
        get g()   { return {x:d - a*Math.cos(phi), y:-a*Math.sin(phi)}; },
        get gg()  { return a*a + d*d - 2*a*d*Math.cos(phi); },
        get s() { return Math.sqrt(this.gg - e*e); },
        get psi() {
            return Math.atan2( (1/this.gg)*(-e*this.g.y + this.s*this.g.x), (1/this.gg)*(-e*this.g.x - this.s*this.g.y) )
        },
        get epsi() { return { x:Math.cos(this.psi), y:Math.sin(this.psi)}; },
 
        // Gelenkpunkte
        A0: {x:0, y:0},
        get B0() { return {x:d, y:0}; },
        get A() { return {x:a*this.ephi.x, y:a*this.ephi.y}; },
        get B() { return {x:this.B0.x + e*this.epsi.x, y:this.B0.y + e*this.epsi.y}; },
        get C() { return {x:this.B.x + (smax + 40)*(- this.epsi.y), y:this.B.y + (smax + 40)*this.epsi.x}; }
    }

Es folgen nach alt bekannten Schema Anpassungen am world-Objekt

world = g2().clr()
            .view({cartesian:true,x: 150,y: 180}) // Nullpunkt verschoben   
            .use({grp:g})
            .nodfix({x:0,y:0})
            .nodfix(mec.B0),

und der Funktion position()

function position() {
    g.del()
     .beam2({pts:[mec.B0.x, mec.B0.y, mec.B.x, mec.B.y, mec.C.x, mec.C.y]})
     .slider({...mec.A, w: (mec.psi+pi/2), fs:"@nodfill"})
     .bar2({x1: mec.A0.x,y1:mec.A0.y, x2:mec.A.x,y2:mec.A.y})
     .nod(mec.A)
}

6.4.4 Ergebnis

Der fertige Quelltext sollte folgendermaßen aussehen:

<!doctype html>
<html>
<head>
    <meta charset='utf-8'>
    <title>Kurbelschleife</title>
</head>
 
<body>
    <h2>Kurbelschleife - Grundfall 5</h2>
    <canvas id="c" width="400" height="300" style="border-width:1px;border-style:solid"></canvas>
    <br>
    <label for="phislider">&phi;:
    <input type="range" id="phislider" style="width:330px;vertical-align:middle;padding:0" min="0" max="360" value="0">
    <output id="phiout" for="phislider">0</output>°
    </label>
 
    <script src="https://gitcdn.xyz/repo/goessner/g2/master/src/g2.js"></script>
 
    <script>
 
const cnv = document.getElementById('c'),
    ctx = cnv.getContext('2d'),
    phislider = document.getElementById('phislider'),
    phiout = document.getElementById('phiout'),
    pi = Math.PI,
    a = 50, d = 3*a, e = 3/2*a,
    smax = Math.sqrt((a + d)*(a + d) - e*e),
    mec = {
        get ephi() { return {x:Math.cos(phi), y:Math.sin(phi)}; },
        get g()   { return {x:d - a*Math.cos(phi), y:-a*Math.sin(phi)}; },
        get gg()  { return a*a + d*d - 2*a*d*Math.cos(phi); },
        get s() { return Math.sqrt(this.gg - e*e); },
        get psi() {
            return Math.atan2( (1/this.gg)*(-e*this.g.y + this.s*this.g.x), (1/this.gg)*(-e*this.g.x - this.s*this.g.y) )
        },
        get epsi() { return { x:Math.cos(this.psi), y:Math.sin(this.psi)}; },
 
        // Gelenkpunkte
        A0: {x:0, y:0},
        B0: {x:d, y:0},
        get A() { return {x:a*this.ephi.x, y:a*this.ephi.y}; },
        get B() { return {x:this.B0.x + e*this.epsi.x, y:this.B0.y + e*this.epsi.y}; },
        get C() { return {x:this.B.x + (smax + 25)*(- this.epsi.y), y:this.B.y + (smax + 25)*this.epsi.x}; }
    },
 
    g = g2(),
 
    // baut und initialisiert statische Umgebung
    world = g2().clr()
                .view({cartesian:true,x:150,y:150})
                .use({grp:g})
                .nodfix({x:0,y:0})
                .nodfix(mec.B0);
 
let phi = 0, // Laufvariable 
    dirty = true;  // wenn true gibt es was zu aktualisieren
 
 
function position() {
    g.del()
     .beam2({pts:[mec.B0.x, mec.B0.y, mec.B.x, mec.B.y, mec.C.x, mec.C.y]})
     .slider({...mec.A,w:(mec.psi+pi/2),fs:"@nodfill"})
     .bar2({x1:mec.A0.x,y1:mec.A0.y,x2:mec.A.x,y2:mec.A.y})
     .nod(mec.A)
}
 
function render() {
    if (dirty) {
        position();  // aktualisiere Position
        world.exe(ctx);  // rendert world in den Context
        dirty = false;
    }
    requestAnimationFrame(render);  // asynchroner callback von render(), keine Rekursion!
}
 
function setPhi() {
    if (phislider.value != phiout.value) {
        phi = phislider.value*pi/180;
        phiout.innerHTML = phislider.value;
        dirty = true;
    }
}
 
/*
 *  Initialisierung
 */
 
// Eventlistener hinzufuegen
phislider.addEventListener("input",setPhi);
// Animation starten
render();
    </script>
</body>
</html>